Question

【題目】函數f（x）=ka﹣x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）= 是奇函數，求b的值；
（3）在（2）的條件下判斷函數g（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=ka﹣x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8），

∴ ，解得 ，

∴ ，

（2）解：由（1）知 ，∵函數 為奇函數，

∴g（﹣x）=﹣g（x）即 ，

∴

∴b=1．

（3）解：由（2）知 ，∴g（x）在（0，+∞）為減函數，

證明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，則 = ，

∵0＜x1＜x2，∴ ，

∴ ，即g（x1）﹣g（x2）＞0，∴g（x1）＞g（x2）

∴g（x）在（0，+∞）為減函數

【解析】（1）利用待定系數法求解析式即可；（2）利用奇函數的定義得到關于b的等式解之即可；（3）利用單調性的定義進行判斷證明．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．