Question

(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.

（理）已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點），過點作一直線交橢圓于、兩點 .

(1)求橢圓的方程；

(2)求面積的最大值；

(3)設點為點關于軸的對稱點，判斷與的位置關系，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）與共線。

【解析】

試題分析：解:(1)由，得            2分

a²=2,b²=1

所以，橢圓方程為.      4分

(2)由 ，得(m²+2)y²+2my-1=0, 

設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，由條件可知，點.

=|FT||y₁-y₂|==     6分

令t=，則t，

則==，當且僅當t=，即m=0

(此時PQ垂直于x軸)時等號成立，所以的最大值是.     10分

(3) 與共線                11分

(x₁,-y₁)，=(x₂-x₁,y₂+y₁)，=(x₂-2,y₂)        12分

由(x₂-x₁)y₂-(x₂-2)(y₁+y₂)

=-x₁y₂-x₂y₁+2(y₁+y₂)

=-(my₁+1)y₂-(my₂+1)y₁+2(y₁+y₂)

=-2my₁y₂+(y₁+y₂)

=-2m+

=0，所以，與共線          16分

考點：橢圓的簡單性質；橢圓的標準方程；直線與橢圓的綜合應用。

點評：有關直線與橢圓的綜合應用，我們通常用設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設點→聯立方程→消元→韋達定理。