Question

如圖,側棱垂直底面的三棱柱的底面位于平行四邊形中,,,,點為中點.

  （Ⅰ）求證:平面平面.

  （Ⅱ）設二面角的大小為,直線與平面所成的角為,求的值.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）方法一、在平行四邊形中,

 ∵,,,點為中點.

∴,,從而,即 

又面,面,∴,而, ∴平面 

∵平面    ∴平面平面

方法二、∵,,,點為中點.

∴,,，∴ 

又面,面，∴,而,∴平面 

 ∵平面    ∴平面平面

（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知,

 ∴為二面角的平面角,即,

 在中,,

,

以為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,

其中,,,,

,,

設為平面的一個法向量,則,

∴即,令,得平面的一個法向量,

則,又,  ∴,

∴, 即

方法二、由（Ⅰ）可知,

∴為二面角的平面角,即,

在中,,

, 

過點在平面內作于,連結,

則由平面平面,且平面平面,得平面

∴為直線與平面所成的角,即

在中,,, 

∴, 即

【解析】略