Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知C1： （θ為參數），將C1上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的 和2倍后得到曲線C2以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（ cosθ+sinθ）=4
（1）試寫出曲線C1的極坐標方程與曲線C2的參數方程；
（2）在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把C1： （θ為參數），消去參數化為普通方程為 x2+y2=1，

故曲線C1：的極坐標方程為ρ=1．

再根據函數圖象的伸縮變換規律可得曲線C2的普通方程為 + =1，即 + =1．

故曲線C2的極參數方程為 （θ為參數）

（2）解：直線l：ρ（ cosθ+sinθ）=4，即 x+y﹣4=0，設點P（ cosθ，2sinθ），

則點P到直線的距離為d= = ，

故當sin（θ+ ）=1時，d取得最小值，此時，θ=2kπ+ ，k∈z，點P（1， ），

故曲線C2上有一點P（1， ）滿足到直線l的距離的最小值為 ﹣

【解析】（1）把C1消去參數化為普通方程為 x2+y2=1，再化為極坐標方程．根據函數圖象的伸縮變換規律可得曲線C2的普通方程，再化為極參數方程．（2）先求得直線l的直角坐標方程，設點P（ cosθ，2sinθ），求得點P到直線的距離為d= ，故當sin（θ+ ）=1時，即θ=2kπ+ ，k∈z時，點P到直線l的距離的最小值，從而求得P的坐標以及此最小值