Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)＝m·2^x＋t的圖象經(jīng)過點A(1,1)、B(2,3)及C(n，S_n)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，n∈N^*.

(1)求S_n及a_n；

(2)若數(shù)列{c_n}滿足c_n＝6na_n－n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n.

 

Answer 1

【答案】

（1）S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，a_n＝2^n－1(n∈N^*)．

（2）c_n＝6na_n－n＝3n×2ⁿ－n.

T_n＝3(n－1)·2^n＋1－＋6. 

【解析】解：(1)由，得，           …………………………2分

∴f(x)＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)．              …………………………3分

∴當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1.         …………………………5分

當n＝1時，S₁＝a₁＝1符合上式．

∴a_n＝2^n－1(n∈N^*)．                               …………………………6分

(2)由(1)知c_n＝6na_n－n＝3n×2ⁿ－n.                …………………………7分

從而T_n＝3(1×2＋2×2²＋…＋n×2ⁿ)－(1＋2＋…＋n) …………………………9分

＝3(n－1)·2^n＋1－＋6.              …………………………12分