Question

知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，直線l的方程為： 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；
②已知點(diǎn)，求證：為定值

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為 

解析試題分析：(1)橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,可以看作是以長為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯(lián)立方程組，消去，可得關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理可得，這就是相交弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出，把用坐標(biāo)表示出來，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d2/7/wnlrp1.png" style="vertical-align:middle;" />滿足，，      2分
，解得，，
則橢圓方程為       4分
（Ⅱ）（1）設(shè)，將代入并化簡得
      6分
，
則是上述方程的解
，      7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d6/9/ppbum2.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得    9分
（2）由（1），，

，為定值
考點(diǎn)：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；（Ⅱ）直線與橢圓的位置關(guān)系問題