Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，且f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立，當x∈[2，3]時，f（x）=x，則當x∈（-1，0）時，函數f（x）的解析式為

f（x）=2-x

．

Answer 1

分析：由已知中f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立得到函數是以2為周期的周期函數，又由函數f（x）是定義在R上的偶函數，結合當x∈[2，3]時，f（x）=x，我們易得，x∈（-1，0）時時，函數f（x）的表達式．

解答：解：因為f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立⇒f（x）=f（x+2）⇒周期T=2．
∴x∈（-1，0）⇒-x∈（0，1）⇒-x+2∈（2，3）．
∵f（x）是定義在R上的偶函數；
且當x∈[2，3]時，f（x）=x
∴x∈（-1，0），可得f（x）=f（-x）=f（-x+2）=-x+2．
即x∈（-1，0）時，f（x）=-x+2．
故答案為：f（x）=-x+2．

點評：本題主要考察函數的周期性以及奇偶性．解決本題的關鍵在于根據f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立得到函數是以2為周期的周期函數．