Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓：，點，過點的直線與圓交于不同的兩點（不在y軸上)．

（1）若直線的斜率為3，求的長度；

（2）設直線的斜率分別為，求證：為定值，并求出該定值；

（3）設的中點為，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）求出圓心O到直線的距離，已知半徑通過勾股定理即可算出弦長的一半，即可算出弦長。（2）設，直線的方程為，聯立圓的方程通過韋達定理化簡即可。（3）設點，根據，得，表示出，的關系，再聯立直線和圓的方程得到，與k的關系，代入可解出k，最后再通過有兩個交點判斷即可求出k值。

（1）由直線的斜率為3，可得直線的方程為

所以圓心到直線的距離為

所以

（2）直線的方程為，

代入圓可得方程

設，則

所以為定值，定值為0

（3）設點，由，可得：，即

，化得：

由（*）及直線的方程可得：，代入上式可得：

，可化為：

求得：

又由（*）解得：

所以不符合題意，所以不存在符合條件的直線.