Question

（2007•武漢模擬）已知函數f(x)=2

x

+

4-x

，則函數f（x）的值域為（　　）

Answer 1

分析：先根據x+4-x=4，與x無關，結合三角恒等式：sin²θ+cos²θ=1，觀察相似之處，便可利用換元法；設

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，再結合輔助角公式以及三角函數的圖象即可得到答案．

解答：解：設

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，α∈[0，

π

2

]．
則f（x）=4sinα+2cosα=2

5

sin（α+arctan2）．
根據三角函數圖象，當α+arctan2=

π

2

時f（x）取得最大值2

5

；
當α=0時f（x）取得最小值2．
∴f（x）的值域為[2，2

5

]．
故選：D．

點評：三角換元是一種十分實用的方法，它很好地體現了數學中一項基本的思想-轉化．而且與許多知識都有交叉易錯點換元后θ的范圍十分重要，要根據具體的題目而定．