Question

設等差數列{ }的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，．
（1）求數列{}的通項公式；
（2）設數列{ }滿足，求{}的前n項和T_n；
（3）是否存在實數K，使得T_n恒成立.若有，求出K的最大值，若沒有，說明理由.

Answer 1

（1）a_n=2n﹣1，n∈N^*；（2）；（3）.

試題分析：（1）由于{a_n}是等差數列，故只需求出其首項a₁和公差d即可得其通項公式.由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得方程組：，這個方程組中，看起來有3個未知數，但n抵消了(如果n不能抵消，則左右兩邊對應系數相等)，故實質上只有兩個未知數.解這個方程組即可（也可以取n=2）.（2）首先求出{b_n}的通項公式. 已知求，則.在本題中，由已知可得：當n≥2時，，顯然，n=1時符合．由（1）得，a_n=2n﹣1，n∈N^*．從而，n∈N^*．這個數列用錯位相消法便可求得其和．（3）T_n恒成立，則.為了求，需要研究的單調性，為了研究的單調性，需考查的符號.
試題解析：（1）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n﹣1，n∈N^*．（2）由已知，得：
當n=1時，，
當n≥2時，，顯然，n=1時符合．
∴，n∈N^*，由（1）知，a_n=2n﹣1，n∈N^*．∴，n∈N^*．
又，∴，
兩式相減得：
所以．
（3），
所以單調遞增，
所以，
所以.