Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)
（1）證明：

a

⊥

b

；
（2）若存在實數k和t，滿足

x

=(t+2)

a

+(t2-t-5)

b

，

y

=-k

a

+4

b

，且

x

⊥

y

，試求出k關于t的關系式，即k=f（t）；
（3）根據（2）的結論，試求出函數k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，證其數量積為0即可，
（2）有

x

⊥

y

 得

x

•

y

=0再用（1）的結論整理即得，
（3）利用基本不等式a+b≥2

ab

求最值，或利用導數求出最小值

解答：解：（1）∵

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

；
（2）由（1）可知

a

•

b

=0，且|

a

|=2，|

b

|=1，
∴

x

•

y

=-(t+2)•k•(

a

)2+4(t2-t-5)•(

b

)2=0，
∴k=

t2-t-5

t+2

（t≠-2）；
（3）k=

t2-t-5

t+2

=t+2+

1

t+2

-5，
∵t∈（-2，2），
∴t+2＞0，
則k=t+2+

1

t+2

-5≥-3，
當且僅當t+2=1，
，即t=-1時取等號，
∴k的最小值為-3．

點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，及利用基本不等式求最值的應用，考查計算能力，是基礎題．