Question

設數列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)，即當(k∈N*)時，an＝(－1)k－1k，記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，用數學歸納法證明Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．

 

Answer 1

見解析

【解析】①當i＝1時，Si(2i＋1)＝S3＝－1·(2＋1)＝－3，

故原式成立．

②假設當i＝m時，等式成立，即Sm(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

則當i＝m＋1時，

S(m＋1)[2(m＋1)＋1]＝S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

綜合①②得：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．