Question

選修4-4：坐標系與參數方程選講．
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，設直線l的參數方程為

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）．
（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程；
（2）設曲線C與直線l相交于P、Q兩點，以PQ為一條邊作曲線C的內接矩形，求該矩形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把圓的極坐標方程化為普通方程；消去參數t即可得到直線l的方程；
（2）利用弦長|PQ|=2

r2-d2

和圓的內接矩形得對角線是圓的直徑即可求出圓的內接矩形得面積．

解答：解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，化為普通方程：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，∴圓心C（2，0），半徑r=2；
由直線l的參數方程為

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數），消去參數t得x-

3

y-5=0．
（2）由（1）可知：圓心C（2，0）到直線l的距離d=

|2-0-5|

12+( 3 )2

=

3

2

．
∴弦長|PQ|=2

r2-d2

=

7

．
設以PQ為一條邊作曲線C的內接矩形的另一條邊長=

4r2-|PQ|2

=3．
∴該矩形的面積S=3×

7

=3

7

．

點評：理解弦長|PQ|=2

r2-d2

和圓的內接矩形得對角線是圓的直徑是解題的關鍵．