Question

已知點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|PA|=2|PB|，
（1）若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程
（2）若點Q在直線l₁：x+y+3=0上，直線l₂經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設P點的坐標為（x，y），用坐標表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得點P的軌跡方程；
（2）求出圓心坐標，圓的半徑，結合題意，利用圓的到直線的距離，半徑，|QM|滿足勾股定理，求出|QM|就是最小值．

解答：解：（1）設P點的坐標為（x，y），
∵兩定點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲線的方程為（x-5）²+y²=16．
（2）∵（x-5）²+y²=16的圓心坐標為M′（5，0），半徑為4，則圓心M′到直線l₁的距離為：

|5+3|

2

=4

2

，
∵點Q在直線l₁：x+y+3=0上，過點Q的直線l₂與曲線C（x-5）²+y²=16只有一個公共點M，
∴|QM|的最小值為：

(4 2 )2-42

=4．

點評：考查兩點間距離公式及圓的性質，著重考查直線與圓的位置關系，勾股定理的應用，考查計算能力，轉化思想的應用，屬于難題．