Question

已知(

x

+

1

3x2

)n(n∈N*)的展開式中，第5項的二次式系數與第3項的系數之比是3：2．
（1）求n的值；
（2）若展開式中各項的系數和為S，各項的二項式系數和為T，求

S

T

的值．

Answer 1

分析：（1）由展開式的通項可得二項展開式的第3項的系數為

1

9

C

2 n

，第5項的二項式系數為C_n⁴，代入已知可求n
（2）利用賦值法，令x=1可得各項系數之和S，由二項式的性質可得二項式系數之和T=2ⁿ，結合（1）所求的n，代入可求

S

T

解答：解：（1）由題意可得二項展開式的第3項為：T3=

C

2 n

x

n-2(

1

3x2

)2
∴第3項的系數為

1

9

C

2 n

∵

C 4 n

C 2 n 9

=

3

2

  解可得，n=4
（2）利用賦值法，令x=1可得各項系數之和S=(

4

3

)4=

256

81

由二項式的性質可得二項式系數之和T=2⁴=16
∴

S

T

=

256

81×16

=

16

81

點評：本題主要考查了二項展開式的通項，展開式的系數之和及二項式系數之和的應用，解題時要注意區別二項式系數之和（2ⁿ），與各項系數之和（一般利用賦值法求解）的不同，不要混淆，另外在通項中要注意r=4時是第5項．