Question

【題目】已知如圖一，，，，分別為，的中點，在上，且，為中點，將沿折起，沿折起，使得，重合于一點（如圖二），設為．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據勾股定理證明，再證明平面，，再根據角的正切值相乘等1判斷，從而得出，進而證明結果. （2）以直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面法向量，再利用向量夾角公式計算二面角的余弦值，判斷正負，得出結果.

（1）證明：在圖一中，，分別為，的中點，∴，∴，∴且，，在圖二中，，∴，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，在梯形中，，∴，∴，又，平面，∴平面；

（2）由（1）可知，平面且，所以建立如圖所示坐標系，則，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，∴，令，則，∴，

，，設平面一個法向量為．

∴，，令，則，∴，

，

所以二面角的大小為．