Question

設x∈（0，

π

2

），則下列所有正確結論的序號為

②⑥

．
①sinx＜

2

π

x；②sinx＞

2

π

x；③sinx＜

3

π

x；④sinx＞

3

π

x；⑤sinx＜

4

π2

x²； ⑥sinx＞

4

π2

x²．

Answer 1

分析：根據選項①②③④的結構特點，可構造函數f（x）=

sinx

x

，利用導數研究函數的單調性，從而得到結論，根據選項⑤⑥的結構特點，構造函數h（x）=

sinx

x2

，再利用導數研究函數的單調性，從而得到結論．

解答：解：令f（x）=

sinx

x

，則f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
令g（x）=xcosx-sinx，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，

π

2

），
∴g′（x）＜0，則g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，即函數f（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，
∴f（x）＞f（

π

2

）=

π

2

，即

sinx

x

＞

π

2

，sinx＞

2

π

x，故①正確；
當x∈（0，

π

3

]時，f（x）≥f（

π

3

）=

3

π

，即sinx≥

3

π

x，
當x∈（

π

3

，

π

2

）時，f（x）＜f（

π

3

）=

3

π

，即sinx＜

3

π

x，
故③④都不正確；
令h（x）=

sinx

x2

，則h′（x）=

x(xcosx-2sinx)

x4

，
令m（x）=xcosx-2sinx，則m′（x）=cosx-xsinx-2cosx=-xsinx-cosx，
∵x∈（0，

π

2

），
∴m′（x）＜0，則m（x）＜m（0）=0，
∴h′（x）＜0，即函數h（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，
∴h（x）＞h（

π

2

）=

4

π2

，即

sinx

x2

＞

4

π2

，sinx＞

4

π2

x²，故⑥正確；
故答案為：②⑥．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的最值，以及構造函數的方法，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．