Question

（04年上海卷）(16分)

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)     證明：P-ABC為正四面體；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(結果用反三角函數值表示)

(3)     設棱臺DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直

平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構造

出這樣的一個直平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析：【證明】(1) ∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等,

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.

   又∵截面DEF∥底面ABC,

   ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面體.

 【解】(2)取BC的中點M,連拉PM,DM.AM.

   ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

   則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.

   由(1)知,P-ABC的各棱長均為1,

   ∴PM=AM=,由D是PA的中點,得

  sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

(3)存在滿足條件的直平行六面體.

  棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6,體積為V.

  設直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為α,

  則該六面體棱長和為6, 體積為sinα=V.

  ∵正四面體P-ABC的體積是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)

故構造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求.