Question

如圖，已知F₁、F₂是橢圓

x2

172

+

y2

152

=1的左、右焦點，A是橢圓短軸的一個端點，P是橢圓上任意一點，過F₁引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為Q，則|AQ|的最大值為

 

．

Answer 1

分析：點F₁關于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對稱點M在直線F₂Q的延長線上，故|F₂M|=|PF₁|+|PF₂|=2a=34，又OQ是△F₂F₁M的中位線，故|OQ|=17，由此可以判斷出點Q的軌跡，進而可求|AQ|的最大值．

解答：解：點F₁關于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對稱點M在直線F₂Q的延長線上，
故|F₂M|=|PF₁|+|PF₂|=2a=34，
又OQ是△F₂F₁M的中位線，故|OQ|=17，
∴點Q的軌跡是以原點為圓心，17為半徑的圓，
∵A是橢圓短軸的一個端點，b=15，
∴|AQ|的最大值為17+15=32．
故答案為：32．

點評：本題給出橢圓上動點P，求點M的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義和簡單幾何性質，以及等腰三角形“三線合一”等知識，屬于中檔題．