Question

【題目】如圖，函數與軸交于兩點，點在拋物線上（點在第一象限），∥．記，梯形面積為．

（Ⅰ）求面積以為自變量的函數解析式；

（Ⅱ）若其中為常數且，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（II）時， 的最大值為； 時， 的最大值為

【解析】試題分析：根據題意設點C的橫坐標為x，點C在拋物線上，求出點C的縱坐標，根據拋物線的對稱性得出點D的坐標，利用拋物線方程求出點A、B的坐標，從而借助梯形面積公式表示面積S，寫出定義域要求；對函數求導，注意定義域，對參數的不同情況進行討論，求出面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意點的橫坐標為，點的縱坐標為．

點的橫坐標滿足方程，解得，

所以．

由點在第一象限，得．

所以關于的函數式為 ， ．

（Ⅱ）記，

令，得

① 若，即時， 與的變化情況如下：

	↗	極大值	↘

所以，當時， 取得最大值，且最大值為

② 若，即時， 恒成立，

所以， 的最大值為．

綜上， 時， 的最大值為； 時， 的最大值為

．