Question

由曲線y=2x²-2（1≤x≤3）及直線y=0，繞y軸旋轉所得的旋轉體做容器，每秒鐘向容器里注水8cm³，問幾秒鐘后能注滿容器？（坐標的長度單位是cm）

Answer 1

分析：首先分析題目求幾秒鐘后水能注滿容器，又已知每秒鐘向容器里注水8cm³，則需要求出容器的體積，而容器是由拋物線繞對稱軸旋轉所得到的，可由定積分求得，即可求出結果．

解答：解：如圖，底面是x軸上0≤x≤1部分的線段繞y軸旋轉所生成的圓，
側面是拋物線y=2x²-2上1≤x≤3，0≤y＜16部分繞y軸旋轉所得的曲面．
由y=2x²-2，得x2=

y+2

2

，
注滿容器時的體積為V=π

∫

16 0

y+2

2

dy=π(

y2

4

+y

)

16 0

=80π(cm3)．
每秒注水88cm³，充滿容器所需時間為80π÷8=10π（秒）．
所以10π秒鐘后能注滿容器．

點評：此題主要考查由定積分求體積的公式的應用，其中涉及到對旋轉體的理解，有一定的計算量屬于中檔題．