Question

已知數列{a_n}滿足:a₁=,=,a_na_n+1<0(n≥1,n∈N₊),數列{b_n}滿足:b_n=-(n≥1,n∈N₊).
(1)求數列{a_n},{b_n}的通項公式.
(2)證明:數列{b_n}中的任意三項不可能成等差數列.

Answer 1

(1)a_n=(-1)^n-1·  b_n=×   (2)見解析

(1)由題意知,1-=(1-),
令C_n=1-,則C_n+1=C_n,又C₁=1-=,
則數列{C_n}是首項為C₁=,公比為的等比數列,即C_n=×,
故1-=×⇒=1-×,
又a₁=>0,a_na_n+1<0,
故a_n=(-1)^n-1·,
b_n=-
=-
=×.
(2)假設數列{b_n}中存在三項b_r,b_s,b_t(r<s<t)按某種順序成等差數列,由于數列{b_n}是首項為,公比為的等比數列,于是有b_r>b_s>b_t,則只可能有2b_s=b_r+b_t成立.
所以2×=+,
兩邊同乘3^t-1·2^1-r化簡得2×2^s-r·3^t-s=3^t-r+2^t-r,
由于r<s<t,所以上式右邊為奇數,左邊為偶數,故上式不可能成立,導致矛盾,
故數列{b_n}中任意三項不可能成等差數列.