Question

定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：

① 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；② 是偶函數(shù)；③ 在處的切線與直線垂直.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】(1)要確定a,b,c的值，關(guān)鍵是建立關(guān)于a,b,c的三個(gè)方程.一是,二是是偶函數(shù);三是.

（2）令，本題可轉(zhuǎn)化為在上的最小值小于零即可.

解：（I），

∵ 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴，           ()  

由是偶函數(shù)得：，                 

又在處的切線與直線垂直，，

代入()得：即.                                5分

（II）由已知得：若存在，使，即存在，使.

設(shè)，

則，              

令＝0，∵，∴，     

當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

∴在上有最大值.              

又，∴最小值為.

于是有為所求.                                                12分