Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記｡

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;

(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為｡已知正實(shí)數(shù)滿足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值｡

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

又

數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=

又

當(dāng)

當(dāng)

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)

則

>

對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立

只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。

另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有

事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)

則<

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)

則

<

對(duì)一切的正整數(shù)n，都有

綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4

【解析】略