Question

（2005•上海模擬）（1）若直角三角形兩直角邊長之和為12，求其周長p的最小值；
（2）若三角形有一個內角為arccos

7

9

，周長為定值p，求面積S的最大值；
（3）為了研究邊長a、b、c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值，現有解法如下：S=

1

2

absinC≤

1

2

×9×8sinC=36sinC，要使S的值最大，則應使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所對的邊c邊長最大，所以，當a?9，b?8，c?4時該三角形面積最大，此時cosC=

43

48

，sinC=

455

48

，所以，該三角形面積的最大值是

3 455

4

．以上解答是否正確？若不正確，請你給出正確的解答．

Answer 1

分析：（1）設直角三角形兩直角邊長為x、12-x，斜邊長為y，由勾股定理和二次函數的性質求出y的最小值，即得周長p的
最小值．
（2）根據周長p=x+y+

x2+y2-2xy• 7 9

，利用基本不等式求得 xy≤

9

64

p2，再由S=

1

2

xysin(arccos

7

9

)=

2 2

9

xy，求得面積S的最大值．
（3）不正確，由海倫公式化簡可得16S²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²，而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，
則S≤16，故當三角形的邊長a、b、c 分別為 4

5

，8，4 的直角三角形時，其面積取得最大值16．
另解：S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•8•4•sin90°=16．

解答：解：（1）設直角三角形兩直角邊長分別為x、12-x，斜邊長為y，則 y=

x2+(12-x)2

=

2(x-6)2+72

≥6

2

，
∴兩直角邊長都為6時，周長p的最小值為 12+6

2

．
 （2）設三角形中邊長為x、y的兩邊所夾的角為 arccos

7

9

，則周長p=x+y+

x2+y2-2xy• 7 9

，
∴p≥2

xy

+

2xy- 14 9 xy

=

8

3

xy

，即 xy≤

9

64

p2．
又S=

1

2

xysin(arccos

7

9

)=

2 2

9

xy≤

2

32

p2，∴面積S的最大值為

2

32

p2．
（3）不正確．16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）²-a²][a²-（b-c）²]
=-a⁴+2（b²+c²）a²-（b²-c²）²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²，
而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，則S≤16．
其中等號成立的條件是 a²=b²+c²，b=8，c=4，則 a=4

5

．
∴當三角形的邊長a、b、c 分別為 4

5

，8，4的直角三角形時，其面積取得最大值16．
（ 另解：S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•8•4•sin90°=16）．

點評：本題考查基本不等式，反余弦函數的定義，海倫公式的應用，三角形中的幾何計算，屬于難題．