Question

【題目】曲線.給出下列結論:

①曲線關于原點對稱;

②曲線上任意一點到原點的距離不小于1;

③曲線只經過個整點(即橫縱坐標均為整數的點).

其中,所有正確結論的序號是( )

A.①②B.②C.②③D.③

Answer 1

【答案】C

【解析】

將代入，化簡后可確定①的真假性.對分成等種情況進行分類討論，得出，由此判斷曲線上任意一點到原點的距離不小于1.進而判斷出②正確.對于③，首先求得曲線的兩個整點，然后證得其它點不是整點，由此判斷出③正確.

①，將代入曲線，得，與原方程不相等，所以曲線不關于原點對稱，故①錯誤.

②，對于曲線，由于，所以，所以對于任意一個，只有唯一確定的和它對應.函數是單調遞減函數.當時，有唯一確定的；當時，有唯一確定的.所以曲線過點，這兩點都在單位圓上，到原點的距離等于.當時，，所以.當時，，所以.當時，，且

，

所以.

綜上所述，曲線上任意一點到原點的距離不小于1，所以②正確.

③，由②的分析可知，曲線過點，這是兩個整點.由可得，當且時，若為整數，必定不是某個整數的三次方根，所以曲線只經過兩個整點.故③正確.

綜上所述，正確的為②③.

故選：C