Question

在正四面體P-ABC中，D，E，F分別是AB、BC、CA的中點，求證：
（1）BC∥平面PDF；   （2）BC⊥平面PAE．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：DF∥BC，再結合線面平行的判定定理可得：BC∥平面PDF．
（2）由題意可得：AB=AC，PB=PC．因為E是BC的中點，所以BC⊥PE，BC⊥AE．結合線面垂直的判定定理可得：所以BC⊥平面PAE．

解答：解：（1）因為D，F分別是AB、CA的中點，
所以DF∥BC，
又因為DF?平面PDF，BC?平面PDF，
所以BC∥平面PDF．
（2）因為在正四面體P-ABC中，
所以AB=AC，PB=PC．
因為E是BC的中點，
所以BC⊥PE，BC⊥AE．
又因為PE∩AE=E，PE?平面PAE，AE?平面PAE，
所以BC⊥平面PAE．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以及熟練掌握線面平行與線面垂直的判定定理．