Question

已知函數(shù)滿足，對(duì)任意都有，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在實(shí)數(shù)，.

解析試題分析：（1）根據(jù) 求得；
根據(jù)對(duì)任意，有，確定圖像的對(duì)稱軸為直線，求得；
利用對(duì)任意都有，轉(zhuǎn)化成對(duì)任意成立，解得.
（2）化簡(jiǎn)函數(shù) ，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/97/8/htpuf.png" style="vertical-align:middle;" />，
令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到求解，得，肯定存在性.
試題解析：
（1）由及 ∴      1分
又對(duì)任意，有
∴圖像的對(duì)稱軸為直線，則，∴       3分
又對(duì)任意都有，
即對(duì)任意成立，
∴，故                                  6分
∴                                              7分
（2）由（1）知 ，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/97/8/htpuf.png" style="vertical-align:middle;" />     8分
令
要使函數(shù)在上為減函數(shù)，
只需函數(shù)在上為增函數(shù)，               11分
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有，解得           13分
故存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)      14分
考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).