Question

已知函數f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證：f(x)是奇函數；
（2）如果x∈R⁺，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區間［-2，6］上的最值.

Answer 1

（1）證明漸近線（2）f(x)在區間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.

（1）證明∵函數定義域為R，其定義域關于原點對稱.
∵f（x+y）-f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數.
（2）解 方法一 設x,y∈R⁺，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R⁺，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是減函數.又∵f（x）為奇函數，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數.∴f（-2）為最大值，f(6)為最小值.
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在區間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.
方法二 設x₁＜x₂,且x₁,x₂∈R.
則f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).
∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)-f(x₁)＜0.即f(x)在R上單調遞減.
∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在區間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.