Question

【題目】求下列橢圓的標準方程：

（1）焦點在軸上，離心率，且經過點；

（2）以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的倍，并且過點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由焦點在軸上，可設橢圓的標準方程為，將點A代入方程，由離心率與橢圓的系數關系整理得方程，由上述兩個方程解得，代入所設方程得答案；

（2）分類討論焦點在軸與軸，利用待定系數法設出方程，代入點坐標可得方程，由已知長軸長是短軸長的倍又可構建方程，聯立方程組求得所設方程系數，既得答案.

（1）因為焦點在軸上，即設橢圓的標準方程為，

∵橢圓經過點，.①，

由已知，即.②，

把②代入①，得，解得，

∴橢圓的標準方程為.

（2）若焦點在軸上，設方程為

因為橢圓過點,所以，又，

橢圓的標準方程為，

若焦點在軸上，設方程為因為橢圓過點，,所以，又， ∴橢圓的方程為

綜上，所求的橢圓方程是 或