Question

【題目】如圖，已知點P在圓柱OO1的底面⊙O上，分別為⊙O、⊙O1的直徑，且平面．

（1）求證：；

（2）若圓柱的體積，

①求三棱錐A1﹣APB的體積．

②在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與所成角的余弦值為？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②見解析

【解析】

（1）根據，得出平面，故而；（2）①根據圓柱的體積計算，根據計算，，代入體積公式計算棱錐的體積；②先證明就是異面直線與所成的角，然后根據可得，故為的中點．

（1）證明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直徑，

平面 又，

平面，又平面，故．

（2）①由題意，解得，

由，得，，

∴三棱錐的體積．

②在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦值為．

證明：∵O、M分別為的中點，則，

就是異面直線OM與所成的角，

又，

在中，．

∴在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦值為．