Question

設函數f(x)＝cos＋2cos²，x∈R．
(1)求f(x)的值域；
(2)記△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．

Answer 1

（1）[0,2]    （2）1或2

(1)f(x)＝cos xcos －sin xsin ＋cos x＋1
＝－cos x－sin x＋cos x＋1
＝cos x－sin x＋1
＝sin＋1，
因此f(x)的值域為[0,2]．
(2)由f(B)＝1得sin＋1＝1，
即sin＝0，又因0<B<π，
故B＝．
方法一　由余弦定理b²＝a²＋c²－2accos B，
得a²－3a＋2＝0，解得a＝1或2．
方法二　由正弦定理＝，得
sin C＝，C＝或．
當C＝時，A＝，
從而a＝＝2；
當C＝時，A＝，
又B＝，
從而a＝b＝1．
故a的值為1或2．