Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)。

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；

（Ⅱ）若；

（Ⅲ）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。

Answer 1

（Ⅰ）

當(dāng)

（Ⅱ）

（Ⅲ）時(shí)，函數(shù)有極值；

當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為

當(dāng)時(shí)，的極大值為

解析:

本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。

（Ⅰ）由題意知

當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)….（4分）

（Ⅱ）因?yàn)?img width=241 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/120/307120.gif" >

由函數(shù)定義域知>0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0<a<1.

所以

（Ⅲ）

令

當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均有故無(wú)極值

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根

當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

的極大值為，的極小值為

當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根， 

同上可得的極大值為

綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；

當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為

當(dāng)時(shí)，的極大值為