Question

【題目】已知函數

（1）求函數的極值；

（2）求函數的單調區間；

（3）判斷函數是否存在公切線，如果不存在，請說明理由，如果存在請指出公切線的條數

Answer 1

【答案】（1）當時，函數無極值；當時，函數的極小值為，無極大值. （2）當時，遞增區間為和，無遞減區間；當時，遞增區間為和，遞減區間為和.（3）存在，兩條

【解析】

（1）求導后，對分類討論，利用導數的可得結果；

（2）求導后，對分類討論，利用導數的符號可得單調區間；

（3）設它們的公切線與切于，與切于，利用導數的幾何意義求出它們的切線，根據兩條直線重合可得，構造函數，根據單調性和零點存在性定理可得結果.

（1），，

當時，，函數在上遞減，此時函數無極值；

當時，由，得，由，得，

所以函數在處取得極小值，極小值為，無極大值，

綜上所述：當時，函數無極值；當時，函數的極小值為，無極大值.

（2），定義域為，

，

當，即時，，函數的遞增區間為和，無遞減區間；

當，即時，由，得，解得或，

由，得，解得或，

所以函數的增區間為和，遞減區間為和.

綜上所述：當時，遞增區間為和，無遞減區間；

當時，遞增區間為和，遞減區間為和.

（3）函數存在兩條公切線，

理由如下：

假設它們的公切線與切于，與切于，

因為，，

所以在點處的切線方程為，即

在點處的切線方程為，即，

根據兩條切線重合可得，消去可得，

令，則，

所以在和上遞增，

因為時，,時，，所以函數在上有且只有一個零點，

因為時， ，時，，

所以函數在上有且只有一個零點，

所以在和上各有一個實根，

所以它們的公切線有且只有兩條.