Question

如圖1，A，D分別是矩形A₁BCD₁上的點，AB＝2AA₁＝2AD＝2，DC＝2DD₁，把四邊形A₁ADD₁沿AD折疊，使其與平面ABCD垂直，如圖2所示，連接A₁B，D₁C得幾何體ABA₁­DCD₁.

(1)當點E在棱AB上移動時，證明：D₁E⊥A₁D；
(2)在棱AB上是否存在點E，使二面角D₁­EC­D的平面角為？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)見解析   (2)存在，

解：(1)證明，如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D­xyz，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A₁(1,0,1)，D₁(0,0,1)．設E(1，t,0)，
則＝(1，t，－1)，＝(－1,0，－1)，
∴·＝1×(－1)＋t×0＋(－1)×(－1)＝0，
∴D₁E⊥A₁D.
(2)假設存在符合條件的點E.設平面D₁EC的法向量為n＝(x，y，z)，
由(1)知＝(－1,2－t,0)，
則得
令y＝，則x＝1－t，z＝1，
∴n＝是平面D₁EC的一個法向量，
顯然平面ECD的一個法向量為＝(0,0,1)，
則cos〈n，〉＝
＝＝cos，
解得t＝2－ (0≤t≤2)．
故存在點E，
當AE＝2－時，二面角D₁­EC­D的平面角為.