Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過點的直線與橢圓相交于兩點，且的周長為8．

（1）求橢圓的方程；

（2）若經過原點的直線與橢圓相交于兩點，且，試判斷是否為定值？若為定值，試求出該定值；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為 (2)見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意知， 的周長，求得的值，進而得到的值，從而求得橢圓的方程；

（2）①當直線在斜率不存在時，把代入橢圓方程，即可求解的值；

②當直線的斜率存在時，設其方程為，聯立方程組，求得，利用弦長公式，求解，再根據因為，所以直線的方程為，聯立方程組，進而求得則，即可得到結論.

試題解析：

（1）由題意知， 的周長為，所以，

又橢圓的離心率為，所以，

所以，故橢圓的方程為；

（2）①當直線在斜率不存在時，其方程為，代入橢圓方程得，

不妨設，則，

因為，所以直線的方程為，代入橢圓方程得，

不妨設，則，

所以；

②當直線的斜率存在時，設其方程為，

由消去得，

則，

，則，

因為，所以直線的方程為，設，

由消去得，則，

則，

所以，綜上所述， 為定值