Question

給定銳角三角形PBC，．設A，D分別是邊PB，PC上的點，連接AC，BD，相交于點O. 過點O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，線段BC，AD的中點分別為M，N．
（1）若A，B，C，D四點共圓，求證：；
（2）若，是否一定有A，B，C，D四點共圓？證明你的結論．

Answer 1

見解析

（1）設Q，R分別是OB，OC的中點，連接EQ，MQ，FR，MR，則

，
又OQMR是平行四邊形，
所以，
由題設A，B，C，D四點共圓，
所以，       
于是，
所以，
故，
所以 EM＝FM，       
同理可得 EN＝FN，
所以 ．
（2）答案是否定的．
當AD∥BC時，由于，所以A，B，C，D四點不共圓，但此時仍然有，證明如下：
如圖2所示，設S，Q分別是OA，OB的中點，連接ES，EQ，MQ，NS，則
，
所以  ．                                 ①
又，
所以．                         ②
而AD∥BC，所以，                         ③
由①，②，③得 ．
因為 ，

，
即，
所以～，       
故 （由②）．
同理可得， ，
所以 ，
從而 ．