Question

α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：

①m⊥n　②α⊥β　③n⊥β　④m⊥α

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題          .

Answer 1

解析：假設①③④為條件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，

如下圖,過m上一點P作PB∥n，則PB⊥m,PB⊥β，設垂足為B.

又設m⊥α的垂足為A，

過PA、PB的平面與α、β的交線l交于點C，

因為l⊥PA,l⊥PB,所以l⊥平面PAB，得l⊥AC,l⊥BC,∠ACB是二面角α-l-β的平面角.

顯然∠APB+∠ACB=180°，因為PA⊥PB，所以∠ACB=90°，得α⊥β.由①③④推得②成立.

反過來，如果②③④成立，與上面證法類似可得①成立.

答案：m⊥α,n⊥β,α⊥βm⊥n或m⊥n,m⊥α,n⊥βα⊥β(二者任選一個即可).