Question

已知實數x，y滿足

x-2y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

在不等式axy≥x²+y²恒成立，則實數a的最小值是（　　）

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部．設P（x，y）是區域內一個動點，則k=

y

x

為直線OP的斜率，運動點P，可得k∈[

1

2

，

3

2

]．不等式axy≥x²+y²恒成立，可得a≥

y

x

+

x

y

恒成立，結合前面得到的k的取值范圍，不難得到實數a的最小值．

解答：解：作出不等式組

x-2y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，
其中A（2，3），B（6，3），C（

10

3

，

5

3

）
∵區域位于第一象限，
∴不等式axy≥x²+y²恒成立，即a≥

x2+y2

xy

恒成立
令k=

y

x

，設P（x，y）是區域內一個動點，則k為直線OP的斜率
運動點P，可得當P與A重合時，k達到最大值

3

2

；當P與C重合時，k達到最小值

1

2

∴k=

y

x

∈[

1

2

，

3

2

]
∵

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

=k+

1

k

≥2

k• 1 k

=2，當且僅當k=1時等號成立
∴

x2+y2

xy

的最小值為2，最大值為

1

2

+2=

5

2

因此，axy≥x²+y²恒成立，可得a≥

5

2

實數a的最小值為

5

2

故選：B

點評：本題給出二元一次不等式組，求使不等式恒成立實數a的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和不等式恒成立的理解等知識，屬于基礎題．