Question

18、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點，過A、N、D三點的平面交PC于M．
（1）求證：DP∥平面ANC；
（2）求證：M是PC中點；
（3）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

分析：（1）接BD，AC，設BD∩AC=O，連接NO，根據菱形的性質及三角形中位線定理，可得PD∥NO，結合線面平行的判定定理即可得到DP∥平面ANC；
（2）由已知易得AD∥BC，則BC∥平面ADMN，由線面平行的性質定理得BC∥MN，根據平行線等分線段定理，即可得到M是PC中點；
（3）取AD中點E，連接PE，BE，BD，由已知中底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，E為AD的中點，可得BE⊥AD，結合PE⊥AD和線面垂直的判定定理得AD⊥面PBE，由線面垂直的性質可得AD⊥PB，又由等腰三角形PAB中，N為PB的中點，得AN⊥PB，由線面垂直的判定定理得：PB⊥平面ADMN，最后由面面垂直的判定定理得到平面PBC⊥平面ADMN．

解答：證明：（1）連接BD，AC，設BD∩AC=O，連接NO…（1分）
∵ABCD是的菱形∴O是BD中點，又N是PB中點
∴PD∥NO…（3分）
又NO?平面ANC，PD?平面ANC…（4分）
∴PD∥平面ANC…（5分）
（2）依題意有AD∥BC∴BC∥平面ADMN…（6分）
而平面PBC∩平面ADMN=MN…（7分）
∴BC∥MN…（9分）
又N是PB中點∴M是PC中點
（3）取AD中點E，連接PE，BE，BD，
∵ABCD為邊長為2的菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD為等邊三角形，又E為AD的中點
∴BE⊥AD…（12分）
又∵PE⊥AD
∴AD⊥面PBE
∴AD⊥PB                                  …（13分）
又∵PA=AB，N為PB的中點
∴AN⊥PB…（14分）
∴PB⊥平面ADMN而PB?平面PBC…（15分）
∴平面PBC⊥平面ADMN…（16分）

點評：本題考查的知識是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質，（1）的關鍵是得到PD∥NO，（2）的關鍵是得到BC∥MN，（3）的關鍵是線線、線面、面面垂直之間的轉化．