Question

設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn)，它的右焦點(diǎn)是拋物線y2=

8 3

3

x的焦點(diǎn)，且該點(diǎn)到雙曲線的一條準(zhǔn)線的距離為

3

2

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線C交于兩點(diǎn)A、B，試問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)到雙曲線的一條準(zhǔn)線的距離為

3

2

求得a，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，雙曲線方程可得．
（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0和3-k²≠0求得k的范圍，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根據(jù)OA⊥OB，可知y₂y₁+x₂x₁=0，把直線方程代入整理可得x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理把x₁+x₂和x₁x₂代入求得k，然后檢驗(yàn)k是否符合前面所求k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y2=

8 3

3

x的焦點(diǎn)為(

2 3

3

，0)，
∴設(shè)中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為(

2 3

3

，0)的雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
∵(

2 3

3

，0)到雙曲線的一條準(zhǔn)線的距離為

3

2

，
∴

a2

c

=

2 3

3

-

3

2

=

3

6

．
∴a2=

3

6

×

2 3

3

=

1

3

．∴b2=c2-a2=(

2 3

3

)2-

1

3

=1．
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．
（Ⅱ）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0
由

△=4k2-4(-2)(3-k2)＞0 3-k2≠0

得-

6

＜k＜

6

(k≠±

3

)．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
將x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

，代入②，解得k=±1，滿足①．
∴k=±1時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問(wèn)題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問(wèn)題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問(wèn)題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．