【題目】 某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為
，山區邊界曲線為
，計劃修建的公路為
，如圖所示，
為
的兩個端點，測得點
到
的距離分別為5千米和40千米，點
到的距離分別為20千米和2.5千米，以
所在的直線分別為
軸，建立平面直角坐標系
，假設曲線符合函數
（其中
為常數）模型．
（1）求的值；
（2）設公路與曲線相切于
點，
的橫坐標為
.
①請寫出公路長度的函數解析式
，并寫出其定義域；
②當
為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．
【答案】（1）
，
；（2）①
；②當
時，公路
的長度最短，最短長度為
千米.
【解析】
試題分析：（1）由題意，可知點
，
的坐標，代入函數可求解得到
；（2）①設切點為
，根據導數的幾何意義求得切線方程，并且切線與
，
軸分別于
，
點，求得點
的坐標,并表示
，②，設
，根據導數判斷函數的單調性，求定義域內的最值.
試題解析：（1）由題意知，點，的坐標分別為
，
.
將其分別代入
，得
，解得
（2）①由⑴得
，則點
的坐標為
，
∵
，∴切線
的方程為
，
設曲線
在點處的切線交，軸分別于，點，則
，
，
∴
②設
，則
，令
解得
，
當
時，
，
是減函數；
當
時，
，是增函數；
從而，當 時，函數有極小值，也是最小值.
∴
，∴
.
答：當 時，公路 的長度最短，最短長度為千米
浙江之星課時優化作業系列答案
激活思維優加課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，上頂點為
，短軸長為2，
為原點，直線
與橢圓
的另一個交點為
，且
的面積是
的面積的3倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
與橢圓相交于
兩點，若在橢圓上存在點
，使
為平行四邊形，求
取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，曲線
在點
處的切線與直線
垂直（其中
為自然對數的底數）．
（1）求
的解析式及單調遞減區間；
（2）是否存在常數
，使得對于定義域內的任意
， 
恒成立，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】解下列關于x的不等式．
(1) 4x－
－7·2x－2－1＞0；
(2) loga(2x＋1)＞2loga(1－x)(其中a是正的常數，且a≠1)．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為自然對數的底數），
，
．
（1）求曲線
在
處的切線方程；
（2）討論函數
的極小值；
（3）若對任意的
，總存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設樣本x1,x2,…,x10數據的平均值和方差分別為3和5,若yi=xi+a(a為非零實數,i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的均值和方差分別為( )
A. 3，5 B. 3+a，5 C. 3+a，5+a D. 3，5+a
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