Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取線段AB的中點F，連接EF，CF．則AF=CD，AF∥CD，

所以四邊形ADCF是平行四邊形，

則CF∥AD；

又EF∥AP且CF∩EF=F，

∴面CFE∥面PAD，

又EC面CEF，

∴EC∥平面PAD

（2）解：如圖，以C為原點，取AB中點F， 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向，

建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．

設P（0，0，a）（a＞0），則E（ ，﹣ ， ），

=（1，1，0）， =（0，0，a）， = ，﹣ ， ），

取 =（1，﹣1，0），則 為面PAC的法向量．

設 =（x，y，z）為面EAC的法向量，則

取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），

依題意，|cos＜ ， ＞|= = ，則a=1．

于是 =（1，﹣1，﹣2）， =（1，1，﹣2）．

設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取線段AB的中點F，連接EF，CF，證明四邊形ADCF是平行四邊形，進而證明面CFE∥面PAD，即可證明EC∥平面PAD；（2）根據題意，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值為 ，可求a的值，從而可求 ，利用向量的夾角公式即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．