Question

（2013•四川）設P₁，P₂，…P_n為平面α內的n個點，在平面α內的所有點中，若點P到點P₁，P₂，…P_n的距離之和最小，則稱點P為P₁，P₂，…P_n的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現有下列命題：
①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是

①④

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：對于①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，利用兩點之間線段最短，則C是A，B，C的中位點，正確；
對于②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點到三個頂點的距離之和為7，據此進行判斷即可；
對于③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點，從而它們的中位點存在但不唯一；
④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點O，P是任意一點，利用根據三角形兩邊之和大于第三邊得梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．

解答：解：①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，根據兩點之間線段最短，則C是A，B，C的中位點，正確；
②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點到三個頂點的距離之和為7，
∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點，故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；
④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點O，P是任意一點，則根據三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，
∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．
故答案為：①④．

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用、新定義的應用、三角形的性質等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．