Question

已知a，b＞0，a+b=1，則

a+1

+

b+1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用導數或基本不等式的性質即可得出．

解答：解：方法一：∵a，b＞0，a+b=1，∴b=1-a，0＜a＜1，∴

a+1

+

b+1

=

a+1

+

2-a

．
令f（a）=

a+1

+

2-a

，a∈（0，1）．
則f^′（a）=

1

2 a+1

-

1

2 2-a

=

2-a - a+1

2 a+1 2-a

=

1-2a

2 a+1 2-a ( a+1 + 2-a )

，
令f^′（a）=0，則a=

1

2

．
當0＜a＜

1

2

時，f^′（a）＞0，函數f（a）單調遞增；當

1

2

＜a＜1時，f^′（a）＜0，函數f（a）單調遞減．
∴當a=

1

2

時，函數f（a）取得最大值f(

1

2

)=

1 2 +1

+

2- 1 2

=

6

．
又f（0）=1+

2

=f（1），∴當a∈（0，1）時，1+

2

＜f(a)≤

6

．
因此

a+1

+

b+1

的取值范圍是(1+

2

，

6

]．
方法二：求最大值．
∵a，b＞0，a+b=1，∴(

a+1

+

b+1

)2≤2（a+1+b+1）=6，∴

a+1

+

b+1

≤

6

，當且僅當a=b=

1

2

時取等號．
即

a+1

+

b+1

的最大值為

6

．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、基本不等式求函數的最值是解題的關鍵．