Question

（2010•武昌區模擬）已知函數f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

．
（1）求a；
（2）設f（x）的導函數是f'（x），若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）對實數m的值，討論關于x的方程f（x）=m的解的個數．

Answer 1

分析：（1）根據函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，利用函數在某點的導數值等于函數圖象在該點的切線的斜率，即可求得．
（2）分別計算f（m），f'（n）的最小值．利用導數在某個區間上的符號，確定函數單調性，進而確定函數最值．
（3）先求得f(0)=-4，f(

4

3

)=-

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27

．畫出函數y=f（x）草圖，根據y=f（x）與y=m的交點個數，可確定方程f（x）=m的解的個數．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+2ax．…（1分）
據題意，f′(1)=tan

π

4

=1
∴-3+2a=1，即a=2…（3分）
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x．

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）	-7	-	0	-	1
f（x）	-1		-4		-3

∴對于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4．…（6分）
∵f'（x）=-3x²-4x的對稱軸為x=

2

3

，且拋物線開口向下，
∴x∈[-1，1]時，f'（x）最小值為f'（-1）與f'（1）中較小的
∵f'（1）=1，f'（-1）=-7
∴當x∈[-1，1]時，在f'（x）的最小值為-7…（7分）
∴當x∈[-1，1]時，在f'（n）的最小值為-7…（8分）
∴f（m）+f'（n）的最小值為-11
（3）求得f(0)=-4，f(

4

3

)=-

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．…（10分）
依題意可畫出函數y=f（x）草圖，得
當m＞-

76

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或m＜-4時，方程有一解；
當m=-

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或m=-4時，方程有兩解；
當-4＜m＜-

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時，方程有三解；

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查利用導數解決函數的最值問題，同時考查了數形結合的數學思想，解題的關鍵是正確利用導數工具．