Question

（2004•上海模擬）如圖，⊙O半徑為2，直徑CD以O為中心，在⊙O所在平面內轉動，當CD 轉動時，OA固定不動，0°≤∠DOA≤90°，且總有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC與⊙O交于E，連AD，設CE為x，四邊形ABCD的面積為y．
（1）求y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍；
（2）當x=2

3

（3）時，求四邊形ABCD在圓內的面積與四邊形ABCD的面積之比；
（4）當x取何值時，四邊形ABCD為直角梯形？連EF，此時OCEF變成什么圖形？（只需說明結論，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD不是規則的四邊形，可將其分成平行四邊形ABCO和△AOD兩部分來求解，連接DE，過O作OH⊥BC于H，那么不難得出OH是△CDE的中位線，在直角三角形CDE中，可用直徑和CE的長求出DE的值，然后即可得出OH的長，進而可根據四邊形ABCD的面積計算方法求出y，x的函數關系式．下面說x的取值范圍，0°≤∠DOA≤90°；因此0≤cos∠DOA≤1，而cos∠DOA=

CE

CD

=

x

4

；因0≤

x

4

≤1，即0≤x≤4；
（2）連接OE，那么四邊形的圓內部分可分為扇形ODE和△OCE兩部分，△OCE的面積容易求得；重點說明扇形ODE的面積計算方法，關鍵是求出圓心角∠DOE的度數；在直角三角形CDE中，CD=4，CE=2

3

，因此∠DCE=30°；根據圓周角定理，∠DOE=2∠DCE=60°；根據扇形的面積公式即可求出扇形ODE的面積；然后再分別計算出△OCE的面積和四邊形ABCD的面積，進行比較即可．
（3）當四邊形ABCD是直角梯形時，CD∥AB，CD和AB都與BC垂直，此時C、E重合，CE=x=0；因此OCEF變成了等腰直角三角形．

解答：解：（1）連接DE，過O作OH⊥BC于H，則DE⊥BC，OH∥DE
∵CD=4，CE=x
∴DE=

CD2-CE2

=

42-x2

=

16-x2

∴OH=

1

2

DE=

16-x2

2

∴y=S_?ABCO+S_△OAD=4×

16-x2

2

+

1

2

×4×

16-x2

2

=3

16-x2

（0≤x≤4）
∴x的取值范圍為0≤x≤4；
（2）當x=2

3

時
∵CE=2

3

，CD=4
∴DE=2，∠C=30°
∴∠DOE=60°，OH=1
∵S_圓內部分=

60×π×22

360

+

1

2

×2

3

×1=

2π

3

+

3

∵S_{四邊形ABCD}=3

16-x2

=3

16-12

=6
∴S_圓內部分：S_{四邊形ABCD}=

2π+3 3

18

∴四邊形ABCD在圓內的面積與四邊形ABCD的面積之比為（2π+3

3

）：18；
（3）x=0時，E與C重合，四邊形ABCD為直角梯形，OCEF即三角形OCF的形狀是等腰直角三角形；
當x=2時，CD、AB都與AD垂直．

點評：本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的性質、圖形面積的求法、三角函數、直角梯形的判定等知識點的綜合運用能力．