Question

（2008•成都二模）過拋物線x²=2y上兩點A（-1，

1

2

）、B（2，2）分別作拋物線的切線，兩條切線交于點M．
（1）求證：∠BAM=∠BMA；
（2）記過點A、B且中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線為C，F₁、F₂為C的兩個焦點，B₁、B₂為C的虛軸的兩個端點，過點B₂作直線PQ分別交C的兩支于P、Q，當

PB1

•

QB1

∈（0，4]時，求直線PQ的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

2

x²，知y'=x，切于點A（-1，

1

2

）的切線方程為y-

1

2

=-（x+1），切于點B（2，2）的切線方程為y-2=2（x-2），聯立解得M（

1

2

，-1），由|BA|=|BM|，能夠證明∠BAM=∠BMA．
（2）設雙曲線方程為mx²-ny²=1，由題意，知m-

1

4

n=1且4m-4n=1，故m=

5

4

，n=1，雙曲線方程為

5

4

x²-y²=1．設B₁（0，1），B₂（0，-1），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故

PB1

•

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]，設直線PQ的方程為y=kx-1（k必存在），再由根的判別式和韋達定理能求出直線PQ的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x²，
∴y'=x，
切于點A（-1，

1

2

）的切線方程為y-

1

2

=-（x+1），
切于點B（2，2）的切線方程為y-2=2（x-2），
聯立解得M（

1

2

，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）設雙曲線方程為mx²-ny²=1，
由題意，有m-

1

4

n=1且4m-4n=1，
解得m=

5

4

，n=1，
∴雙曲線方程為

5

4

x²-y²=1，
不妨設B₁（0，1），B₂（0，-1），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

PB1

=（-x₁，1-y₁），

QB1

=（-x₂，1-y₂），
∴

PB1

•

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]．
設直線PQ的方程為y=kx-1（k必存在），
由

y=kx-1 5x2 4 -y2=1

，
得（

5

4

-k²）x²+2kx-2=0
△=4k²+8（

5

4

-k²）＞0
x₁+x₂=

8k

4k2-5

，x₁x₂=

8

4k2-5

PB1

•

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂
=x₁x₂+1-k（x₁+x₂）+2+k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
將x₁+x₂=

8k

4k2-5

，x₁x₂=

8

4k2-5

代入，
得

PB1

•

QB1

=

8

4k2-5

+1-k•

8k

4k2-5

+2+k2•

8

4k2-5

-k•

8k

4k2-5

+1
=

8-8k2

4k2-5

+4
=

8k2-12

4k2-5

．
∴

PB1

•

QB1

=

8k2-12

4k2-5

∈（0，4]，
即0＜

8k2-12

4k2-5

≤4，
∴

8k2-12 4k2-5 ＞0 8k2-12 4k2-5 ≤4

①   ②

，
由①得k2≤

5

4

，或k2＞

3

2

，
由②得k²≤1，或k2＞

5

4

，
故k²≤1，或k2＞

3

2

解得k∈（-∞，-

6

2

）∪[-1，1]∪（

6

2

，+∞）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力和論證推導能力，綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是計算量大，容易失誤．解題時要認真審題，注意導數的合理運用．