Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）在棱上是否存在點使得二面角大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）要證面面垂直，就要證線面垂直，題中由已知可得BD⊥AD，再由面面垂直的性質可得BQ⊥平面PAD，從而可得面面垂直；

（Ⅱ）假設存在，以Q為原點建立解析中所示的空間直角坐標系． 寫出各點坐標，同時設 ，且，得，求出平面MBQ，平面CBQ的法向量，由法向量的夾角與二面角的關系求出，若求出不出，則說明不存在，求出則說明存在.

試題解析：

(Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅱ）假設存在點點使得二面角大小為

∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則，，，，

所以 平面BQC的法向量為

由 ，且，得

又，

設平面MBQ法向量

則

取 ∴ 平面MBQ法向量為．

∵二面角M-BQ-C為30°，

即 解得 ．

∴

所以 存在點M滿足時，二面角大小為，

且QM的長度為