【題目】已知點
，
，點
為曲線
上任意一點且滿足
.
（1）求曲線的方程；
（2）設曲線與
軸交于
、
兩點，點
是曲線上異于、的任意一點，直線
、
分別交直線
于點
、
.試問在軸上是否存在一個定點
，使得
？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解高一學生暑假里在家讀書情況，特隨機調查了50名男生和50名女生平均每天的閱讀時間（單位：分鐘），統計如下表：
（1）根據統計表判斷男生和女生誰的平均讀書時間更長？并說明理由；
（2）求100名學生每天讀書時間的平均數，并將每天平均時間超過和不超過平均數的人數填入下列的列聯表：
（3）根據（2）中列聯表，能否有99%的把握認為“平均閱讀時間超過或不超過平均數是否與性別有關？”
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某運動員每次射擊命中不低于8環的概率為
，命中8環以下的概率為
，現用隨機模擬的方法估計該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環，一次命中8環以下的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環，6、7、8、9表示命中8環以下，再以每三個隨機數為一組，代表三次射擊的結果，產生了如下20組隨機數：
據此估計，該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環，一次命中8環以下的概率為（ ）
A. 
B. 
C. D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】利用獨立性檢驗的方法調查高中生性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機調查200名高中生是否愛好某項運動，利用
列聯表，由計算可得
，參照下表：
| 0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5,024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到的正確結論是（ ）
A. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
B. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
經過橢圓
： 
的兩個焦點和兩個頂點，點
， 
， 
是橢圓
上的兩點，它們在
軸兩側，且
的平分線在
軸上， 
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）證明：直線
過定點.
【答案】（Ⅰ）
.（Ⅱ）直線
過定點
.
【解析】【試題分析】(I)根據圓的半徑和已知 
,故
,由此求得橢圓方程.(II)設出直線
的方程,聯立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出
的斜率并相加,由此求得直線
過定點
.
【試題解析】
（Ⅰ）圓
與
軸交點
即為橢圓的焦點，圓
與
軸交點
即為橢圓的上下兩頂點，所以
， 
.從而
，
因此橢圓
的方程為： 
.
（Ⅱ）設直線
的方程為
.
由
，消去
得
.
設
， 
，則
， 
.
直線
的斜率
；
直線
的斜率
.
.
由
的平分線在
軸上，得
.又因為
，所以
，
所以
.
因此，直線
過定點
.
[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關系,考查直線與圓錐曲線位置關系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關系的判斷.（2）弦長、弦中點問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設而不求.（2）坐標法.（3）根與系數關系.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）求函數
在
上的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
【答案】(1)
;
.
(2)
.
【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得
兩點的坐標, 設點
，代入向量,利用三角函數的值域來求得取值范圍.
【試題解析】
（Ⅰ）圓的參數方程為
（
為參數）.
直線的直角坐標方程為
.
（Ⅱ）由直線的方程可得點
，點
.
設點，則 
.
.
由（Ⅰ）知，則 
.
因為
，所以
.
【題型】解答題
【結束】
23
【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數
， 
.
（Ⅰ）若對于任意
， 
都滿足
，求
的值；
（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）求函數
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的單調增區間為
，單調減區間為
.（Ⅱ）當
時， 
；當
時， 
.
【解析】【試題分析】(I)利用
的二階導數來研究求得函數
的單調區間.(II) 由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，由此可知
.利用導數和對
分類討論求得函數在
不同取值時的最大值.
【試題解析】
（Ⅰ）
，
設
，則
.
∵
， 
，∴
在
上單調遞增，
從而得
在
上單調遞增，又∵
，
∴當
時， 
，當
時， 
，
因此， 
的單調增區間為
，單調減區間為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
設
，
則
.
∵當
時， 
，∴
在
上單調遞增.
又∵
，∴當
時， 
；當
時， 
.
①當
時， 
，即
，這時， 
；
②當
時， 
，即
，這時， 
.
綜上， 
在
上的最大值為：當
時， 
；
當
時， 
.
[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與
軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
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